Esercizi sui Limiti Notevoli, Tecniche e Soluzioni Pratiche
Esercizi sui Limiti Notevoli, Tecniche e Soluzioni Pratiche
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I limiti notevoli sono un concetto fondamentale nel calcolo differenziale e integrale, essenziale per la comprensione delle funzioni e delle loro proprietà . In questo articolo, esploreremo varied tecniche per risolvere esercizi sui limiti notevoli, fornendo esempi pratici for every aiutarti a padroneggiare questo importante argomento matematico.
Introduzione ai Limiti Notevoli
Un limite notevole è un limite che, a causa della sua frequente comparsa e importanza, viene trattato arrive un caso speciale e viene spesso memorizzato. Alcuni dei limiti notevoli più comuni includono:
lim
â¡
ð‘¥
→
0
sin
â¡
ð‘¥
ð‘¥
=
1
lim
x→0
​
x
sinx
​
=one
lim
â¡
ð‘¥
→
0
1
−
cos
â¡
ð‘¥
ð‘¥
2
=
1
2
lim
x→0
​
x
2
1−cosx
​
=
two
one
​
lim
â¡
ð‘¥
→
∞
(
1
+
1
ð‘¥
)
ð‘¥
=
ð‘’
lim
x→∞
​
(one+
x
one
​
)
x
=e
Questi limiti sono fondamentali for every risolvere problemi complessi e sono spesso utilizzati occur strumenti for each semplificare espressioni matematiche.
Tecniche for every Risolvere Esercizi sui Limiti Notevoli
Scomposizione in Frazioni Parziali
Quando ci si trova di fronte a una frazione complicata, è spesso utile scomporla in frazioni parziali. Questa tecnica permette di separare l espressione in termini più semplici che possono essere gestiti singolarmente.
Esempio,
Trova il limite,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
sin
â¡
(
three
ð‘¥
)
ð‘¥
x→0
lim
​
x
sin(3x)
​
Scomponiamo utilizzando la proprietà del seno,
sin
â¡
(
3
ð‘¥
)
ð‘¥
=
three
â‹…
sin
â¡
(
three
ð‘¥
)
three
ð‘¥
x
sin(3x)
​
=3â‹…
3x
sin(3x)
​
Utilizzando il limite notevole
lim
â¡
ð‘¥
→
0
sin
â¡
ð‘¥
ð‘¥
=
one
lim
x→0
​
x
sinx
​
=one, otteniamo,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
three
â‹…
sin
â¡
(
three
ð‘¥
)
3
ð‘¥
=
three
â‹…
1
=
three
x→0
lim
​
3â‹…
3x
sin(3x)
​
=3â‹…1=3
Espansione in Serie di Taylor
L espansione in serie di Taylor è uno strumento potente for each approssimare funzioni intorno a un punto. Questa tecnica può semplificare l analisi di limiti notevoli.
Esempio,
Trova il limite,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
ð‘’
ð‘¥
−
one
ð‘¥
x→0
lim
​
x
e
x
−1
​
Utilizziamo l espansione di Taylor di
ð‘’
ð‘¥
e
x
intorno a
ð‘¥
=
0
x=0,
ð‘’
ð‘¥
≈
one
+
ð‘¥
+
ð‘¥
two
2
!
+
ð‘¥
three
three
!
+
⋯
e
x
≈one+x+
two!
x
2
​
+
three!
x
three
​
+⋯
Sostituendo nell espressione originale,
ð‘’
ð‘¥
−
1
ð‘¥
≈
one
+
ð‘¥
+
ð‘¥
2
two
!
+
ð‘¥
3
3
!
+
⋯
−
one
ð‘¥
=
ð‘¥
+
ð‘¥
2
2
!
+
ð‘¥
three
3
!
+
⋯
ð‘¥
=
one
+
ð‘¥
two
!
+
ð‘¥
2
3
!
+
⋯
x
e
x
−one
​
≈
x
one+x+
2!
x
two
​
+
three!
x
3
​
+⋯−1
​
=
x
x+
2!
x
2
​
+
3!
x
3
​
+⋯
​
=one+
two!
x
​
+
3!
x
2
​
+⋯
Prendendo il limite quando
ð‘¥
x tende a 0, otteniamo,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
ð‘’
ð‘¥
−
1
ð‘¥
=
one
x→0
lim
​
x
e
x
−1
​
=1
Esercizi Pratici sui Limiti Notevoli
Esercizio 1
Trova il limite,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
tan
â¡
ð‘¥
ð‘¥
x→0
lim
​
x
tanx
​
Soluzione,
Utilizziamo il limite notevole
lim
â¡
ð‘¥
→
0
sin
â¡
ð‘¥
ð‘¥
=
1
lim
x→0
​
x
sinx
​
=1 e la relazione
tan
â¡
ð‘¥
=
sin
â¡
ð‘¥
cos
â¡
ð‘¥
tanx=
cosx
sinx
​
:
tan
â¡
ð‘¥
ð‘¥
=
sin
â¡
ð‘¥
ð‘¥
cos
â¡
ð‘¥
=
one
cos
â¡
ð‘¥
x
tanx
​
=
xcosx
sinx
​
=
cosx
1
​
Prendendo il limite quando
ð‘¥
x tende a 0,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
1
cos
â¡
ð‘¥
=
one
one
=
1
x→0
lim
​
cosx
one
​
=
1
1
​
=1
Esercizio two
Trova il limite,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
ln
â¡
(
one
+
ð‘¥
)
ð‘¥
x→0
lim
​
x
ln(1+x)
​
Soluzione,
Utilizziamo l espansione in serie di Taylor for every il logaritmo naturale
ln
â¡
(
one
+
ð‘¥
)
ln(1+x) intorno a
ð‘¥
=
0
x=0,
ln
â¡
(
1
+
ð‘¥
)
≈
ð‘¥
−
ð‘¥
2
two
+
ð‘¥
3
3
−
⋯
ln(1+x)≈x−
two
x
two
​
+
3
x
3
​
−⋯
Sostituendo nell espressione originale,
ln
â¡
(
1
+
ð‘¥
)
ð‘¥
≈
ð‘¥
−
ð‘¥
two
two
+
ð‘¥
3
three
−
⋯
ð‘¥
=
1
−
ð‘¥
two
+
ð‘¥
2
3
−
⋯
x
ln(one+x)
​
≈
x
x−
two
x
two
​
+
three
x
3
​
−⋯
​
=1−
2
x
​
+
3
x
2
​
−⋯
Prendendo il limite quando
ð‘¥
x tende a 0, otteniamo,
lim
â¡
ð‘¥
→
0
ln
â¡
(
1
+
ð‘¥
)
ð‘¥
=
one
x→0
lim
​
x
ln(1+x)
​
=1
Conclusione
I limiti notevoli sono Esercizi sugli integrali strumenti essenziali per risolvere problemi complessi in matematica. Comprendere e padroneggiare le tecniche per risolvere questi limiti può facilitare notevolmente il tuo percorso di apprendimento nel calcolo differenziale e integrale. Con la pratica costante e l applicazione di questi metodi, sarai in grado di affrontare con sicurezza qualsiasi esercizio sui limiti notevoli.